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ⓘ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. गणित के सन्दर्भ में, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का अर्थ है, गैर-त्रिकोणमितीय फलनों के स्थान पर त्रिकोणमितीय फलनों को स्थापित करना। इनके ..

                                     

ⓘ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

गणित के सन्दर्भ में, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का अर्थ है, गैर-त्रिकोणमितीय फलनों के स्थान पर त्रिकोणमितीय फलनों को स्थापित करना। इनके उपयोग से कुछ समाकल सरल हो जाते हैं।

प्रतिस्थापन 1. यदि समाकल्य integrand में a 2 − x 2 हो तो,

x = a sin ⁡ θ {\displaystyle x=a\sin \theta }

रखें और यह सर्वसमिका प्रयोग करें-

1 − sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ. {\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta.}

प्रतिस्थापन 2. If the integrand contains a 2 + x 2, let

x = a tan ⁡ θ {\displaystyle x=a\tan \theta }

and use the identity

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ. {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta.}

प्रतिस्थापन 3. If the integrand contains x 2 − a 2, let

x = a sec ⁡ θ {\displaystyle x=a\sec \theta }

and use the identity

sec 2 ⁡ θ − 1 = tan 2 ⁡ θ. {\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta.}
                                     

1.1. उदाहरण Integrals containing a 2 − x 2

In the integral

∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}

we may use

x = a sin ⁡ θ, d x = a cos ⁡ θ d θ, θ = arcsin ⁡ x a {\displaystyle x=a\sin\theta,\quad \mathrm {d} x=a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta,\quad \theta =\arcsin \left{\frac {x}{a}}\right} ∫ d x a 2 − x 2 = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 − a 2 sin 2 ⁡ θ = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 1 − sin 2 ⁡ θ) = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 cos 2 ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C = arcsin ⁡ x a + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta}}}\\&=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}1-\sin ^{2}\theta)}}}\\&=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta}}}\\&=\int \mathrm {d} \theta \\&=\theta +C\\&=\arcsin \left{\tfrac {x}{a}}\right+C\end{aligned}}}

Note that the above step requires that a > 0 and cosθ > 0; we can choose the a to be the positive square root of a 2 ; and we impose the restriction on θ to be −π/2 < θ < π/2 by using the arcsin function.

For a definite integral, one must figure out how the bounds of integration change. For example, as x goes from 0 to a /2, then sinθ goes from 0 to 1/2, so θ goes from 0 to π/6. Then we have

∫ 0 a 2 d x a 2 − x 2 = ∫ 0 π 6 d θ = π 6. {\displaystyle \int _{0}^{\frac {a}{2}}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}\mathrm {d} \theta ={\tfrac {\pi }{6}}.}

Some care is needed when picking the bounds. The integration above requires that −π/2

                                     
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