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ⓘ लाप्लास रूपान्तर एक प्रकार का समाकल रूपान्तर है। यह भौतिकी एवं इंजीनियरी के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए परिपथ विश्लेषण में। इसको L ..

लाप्लास रूपान्तर
                                     

ⓘ लाप्लास रूपान्तर

लाप्लास रूपान्तर एक प्रकार का समाकल रूपान्तर है। यह भौतिकी एवं इंजीनियरी के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए परिपथ विश्लेषण में। इसको L { f } {\\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f\right\}} से निरूपित करते हैं। यह एक रैखिक संक्रिया है जो वास्तविक अर्गुमेन्ट t वाले फलन f को समिश्र अर्गुमेन्ट वाले फलन F में बदल देता है।

लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद पिएर सिमों लाप्लास के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग अवकल समीकरण तथा समाकल समीकरण इंटीग्रल इक्वेशन हल करने में किया जाता है।

                                     

1. परिभाषा

F s = L { f t } = ∫ 0 ∞ e − s t f t d t. {\displaystyle Fs={\mathcal {L}}\left\{ft\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}ft\,dt.}

अनुबन्ध यह है कि उपरोक्त समाकलन का अस्तित्व हो। उपरोक्त प्रकार से परिभाषित लाप्लास रूपान्तर एकपक्षीय लाप्लास रूपान्तर कहलाता है। लाप्लास रूपान्तर का द्विपक्षीय रूपान्तर निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित किया जाता है-

F B s = L { f t } = ∫ − ∞ ∞ e − s t f t d t. {\displaystyle F_{B}s={\mathcal {L}}\left\{ft\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}ft\,dt.}
                                     

2. गुण

रैखिकता

L { a f t + b g t } = a L { f t } + b L { g t } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{aft+bgt\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{ft\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{gt\right\}}

समाकलन

L { ∫ 0 − t f τ d τ } = 1 s L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f\taud\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}

द्वैत

L { t f t } = − F ′ s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{tft\}=-Fs}

आवृत्ति विस्थापन

L { e a t f t } = F s − a {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}ft\right\}=Fs-a}

संवलन कॉन्वोलुशन

L { f ∗ g } = F s G s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=FsGs}

p आवर्तकाल वाले एक आवर्ती फलन का लाप्लास रूपान्तर

L { f } = 1 − e − p s ∫ 0 p e − s t f t d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}ft\,dt}

प्रारम्भिक मान प्रमेय

f 0 + = lim s → ∞ s F s {\displaystyle f0^{+}=\lim _{s\to \infty }{sFs}}

अन्तिम मान प्रमेय

f ∞ = lim s → 0 s F s {\displaystyle f\infty=\lim _{s\to 0}{sFs}}

                                     

2.1. गुण रैखिकता

L { a f t + b g t } = a L { f t } + b L { g t } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{aft+bgt\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{ft\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{gt\right\}}
                                     

2.2. गुण समाकलन

L { ∫ 0 − t f τ d τ } = 1 s L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f\taud\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}
                                     

2.3. गुण द्वैत

L { t f t } = − F ′ s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{tft\}=-Fs}
                                     

2.4. गुण आवृत्ति विस्थापन

L { e a t f t } = F s − a {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}ft\right\}=Fs-a}
                                     

2.5. गुण समय विस्थापन

L { f t − a u t − a } = e − a s F s {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{ft-aut-a\right\}=e^{-as}Fs} L − 1 { e − a s F s } = f t − a u t − a {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}Fs\right\}=ft-aut-a}

टिप्पणी: u t {\displaystyle ut} का अर्थ है यूनिट स्टेप फलन

                                     

2.6. गुण संवलन कॉन्वोलुशन

L { f ∗ g } = F s G s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=FsGs}
                                     

2.7. गुण p आवर्तकाल वाले एक आवर्ती फलन का लाप्लास रूपान्तर

L { f } = 1 − e − p s ∫ 0 p e − s t f t d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}ft\,dt}
                                     

2.8. गुण प्रारम्भिक मान प्रमेय

f 0 + = lim s → ∞ s F s {\displaystyle f0^{+}=\lim _{s\to \infty }{sFs}}

                                     

2.9. गुण अन्तिम मान प्रमेय

f ∞ = lim s → 0 s F s {\displaystyle f\infty=\lim _{s\to 0}{sFs}}

                                     

3. प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर

प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर inverse Laplace transform नीचे दिगए समिश्र समाकल द्वारा निकाला जा सकता है। इस समाकल के कई नाम हैं, जैसे ब्रोमविच समाकल Bromwich integra, फुर्ये-मेलिन समाकल Fourier–Mellin integral या मेलिन का प्रतिलोम सुत्र Mellins inverse formula:

f t = L − 1 { F } t = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ γ − i T γ + i T e s t F s d s, {\displaystyle ft={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}t={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}Fs\,ds,}

जहाँ γ एक वास्तविक संख्या है ताकि समाकल का कन्टूर-पथ कन्वर्जेन्स के क्षेत्र F s के अन्दर हो। प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर निकालने का एक दूसरा सूत्र पोस्ट का प्रतिलोम सूत्र Posts inversion formula है।

                                     

4.1. उपयोग उदाहरण १: किसी अवकल समीकरण का हल निकालना

नाभिकीय भौतिकी में जरेडियोसक्रिय क्षय को अभिव्यक्त करने वाला अवकल समीकरण नीचे दिया गया है। किसी नमूने में रेडियोसक्रिय परमाणुओं की संख्या N है तथा इसके क्षय की दर N के समानुपाती होती है। इसी को निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

d N d t = − λ N, {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N,}

जहाँ λ, क्षय नियतांक decay constant है। इस समीकरण का हल लाप्लास रूपान्तर की सहायता से निकाला जा सकता है।

इस समीकरण को एक ही पक्ष side में ले जाकर लिखने पर,

d N d t + λ N = 0. {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0.}

अब हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का लाप्लास रूपान्तर लेते हैं।

s N ~ s − N 0) + λ N ~ s = 0, {\displaystyle \lefts{\tilde {N}}s-N_{0}\right)+\lambda {\tilde {N}}s=0,}

जहाँ

N ~ s = L { N t } {\displaystyle {\tilde {N}}s={\mathcal {L}}\{Nt\}}

तथा

N 0 = N 0. {\displaystyle N_{0}=N0.}

इसका हल करने पर,

N ~ s = N 0 s + λ. {\displaystyle {\tilde {N}}s={\frac {N_{0}}{s+\lambda }}.}

अन्त में हम प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर लेते हें जिससे सामान्य हल प्राप्त होता है।

N t = L − 1 { N ~ s } = L − 1 { N 0 s + λ } = N 0 e − λ t, {\displaystyle {\begin{aligned}Nt&={\mathcal {L}}^{-1}\1-e^{-65t}}
                                     
  • प य र स म ल प ल स Pierre Simon Laplace, ई. - ई. फ र स स गण तज ञ, भ त कश स त र तथ खग लव द थ ल प ल स क जन म म र च ई., क एक
  • त वर त फ र अर र प न तर य फ स ट फ र अर ट र न सफ र म FFT ड स क र ट फ र अर ट र न सफ र म DFT एव उसक व य त क रम र प न तर inverse transform क गणन
  • अभ त क एव प र द य ग क म ब र - ब र द खन क म लत ह व श ष र प स ल प ल स सम करण क ग ल य न र द श क म हल करत समय यह सम करण प र प त ह त ह इन

शब्दकोश

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